I-1. 이차방정식

Ⅲ. 이차방정식

1 이차방정식과 그 해                   pp. 63~64

1 ⑴ [eqn: 3x ^{2} +5x-8=0]

⑵ [eqn: -2x-2=0]

⑶ [eqn: x ^{2} -6x+6=0]

⑷ [eqn: -x ^{3} -5x ^{2} +5=0]
이므로 이차방정식인 것은 ⑴, ⑶이다.

2 ⑴ [eqn: x ^{2} -10x+25=2x+6]
[eqn: x ^{2} -12x+19=0]
∴ [eqn: a=-12,````b=19]

⑵ [eqn: x ^{2} +3x+2=4x+5]
[eqn: x ^{2} -x-3=0]
∴ [eqn: a=-1,````b=-3]

3 ⑴ [eqn: 5 ^{2} -5 TIMES 5=0]이므로 해이다.

⑵ [eqn: 2 TIMES (-2) ^{2} -5 TIMES (-2)-2=16 != 0]이므로
해가 아니다.

⑶ [eqn: 3 ^{2} -2 TIMES 3+3=6 != 0]이므로 해가 아니다.

⑷ [eqn: (-3) ^{2} +8 TIMES (-3)+15=0]이므로 해이다.

4 [eqn: x]에 -2, -1, 0, 1, 2, 3을 각각 차례로 대입하여 등식을 참이 되게 하는 [eqn: x]의 값을 찾는다.

⑴ [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=3]

⑵ [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

⑶ [eqn: x=-2] 또는 [eqn: x=2]

⑷ [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=3]

말로 묻고 말로 답하기                              p. 64

1. ○, [eqn: 1 ^{2} -3 TIMES 1+2=0]이므로 해이다.

2. ×, [eqn: (-1) ^{2} +(-1)+1=1 != 0]이므로 해가 아니다.

2 이차방정식의 풀이              pp. 66~74

1 ⑴ [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=5]

⑵ [eqn: x=-3] 또는 [eqn: x=-7]

⑶ [eqn: x= {1} over {2}] 또는 [eqn: x= {4} over {3}]

⑷ [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=- {5} over {4}]

2 ⑴ [eqn: (x-2)(x+5)=0]
∴ [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=-5]

⑵ [eqn: (x-3)(x-5)=0]
∴ [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=5]

⑶ [eqn: (x+2)(3x-1)=0]
∴ [eqn: x=-2] 또는 [eqn: x= {1} over {3}]

⑷ [eqn: (2x-3)(3x+2)=0]
∴ [eqn: x= {3} over {2}] 또는 [eqn: x=- {2} over {3}]

3 ⑴ [eqn: x ^{2} +2x-8=0], [eqn: (x-2)(x+4)=0]
∴ [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=-4]

⑵ [eqn: x ^{2} -6x+8=0], [eqn: (x-2)(x-4)=0]
∴ [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=4]

⑶ [eqn: x ^{2} -1=0], [eqn: (x-1)(x+1)=0]
∴ [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=-1]

⑷ [eqn: 9x ^{2} -3x-2=0], [eqn: (3x-2)(3x+1)=0]
∴ [eqn: x= {2} over {3}] 또는 [eqn: x=- {1} over {3}]

4 ⑴ [eqn: (x-1) ^{2} =0]
∴ [eqn: x=1](중근)

⑵ [eqn: 3(x ^{2} -4)=0], [eqn: 3(x-2)(x+2)=0]
∴ [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=-2]

⑶ [eqn: x ^{2} -6x+9=0], [eqn: (x-3) ^{2} =0]
∴ [eqn: x=3](중근)

⑷ [eqn: x ^{2} +3x+2=0], [eqn: (x+1)(x+2)=0]
∴ [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=-2]

5 ⑴ [eqn: (x-4) ^{2} =0]
∴ [eqn: x=4](중근)

⑵ [eqn: (3x+1) ^{2} =0]
∴ [eqn: x=- {1} over {3}](중근)

⑶ [eqn: x ^{2} -12x+36=0], [eqn: (x-6) ^{2} =0]
∴ [eqn: x=6](중근)

⑷ [eqn: 4x ^{2} -4x+1=0], [eqn: (2x-1) ^{2} =0]
∴ [eqn: x= {1} over {2}](중근)

6 ⑴ [eqn: x=± sqrt {7}]	⑵ [eqn: x=± {4} over {3}]

⑶ [eqn: x=± {sqrt {6}} over {6}]	⑷ [eqn: x=± {2 sqrt {21}} over {3}]

7 ⑴ [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=-6]

⑵ [eqn: (x-5) ^{2} =8]
∴ [eqn: x=5±2 sqrt {2}]

⑶ [eqn: (x+1) ^{2} = {2} over {9}]
∴ [eqn: x=-1± {sqrt {2}} over {3}]

⑷ [eqn: (x-4) ^{2} =7]
∴ [eqn: x=4± sqrt {7}]

8 ⑴ 9, 9, 3, 6, 3, [eqn: sqrt {6}], [eqn: -3± sqrt {6}]

⑵ [eqn: {25} over {4} ,``` {25} over {4} ,``` {5} over {2} ,``` {33} over {4} ,``` {5} over {2} ,``` {sqrt {33}} over {2} ,``` {5± sqrt {33}} over {2}]

9 ⑴ [eqn: (x-5) ^{2} =22]
∴ [eqn: x=5± sqrt {22}]

⑵ [eqn: (x+3) ^{2} =25]
∴ [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=-8]

⑶ [eqn: LEFT ( x+ {5} over {2} RIGHT ) ^{2} = {37} over {4}]
∴ [eqn: x= {-5± sqrt {37}} over {2}]

⑷ [eqn: LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {17} over {4}]
∴ [eqn: x= {1± sqrt {17}} over {2}]

10 ⑴ [eqn: x= {-4± sqrt {10}} over {2}]

⑵ [eqn: x= {-3±2 sqrt {3}} over {3}]

⑶ [eqn: x= {3± sqrt {17}} over {4}]

⑷ [eqn: x= {1± sqrt {101}} over {10}]

11 ⑴ [eqn: x= {-3± sqrt {5}} over {2}]

⑵ [eqn: x= {-1± sqrt {13}} over {3}]

⑶ [eqn: 4x ^{2} +4x-3=0]
[eqn: x= {-4± sqrt {4 ^{2} -4 TIMES 4 TIMES (-3)}} over {8}]
[eqn: = {-4± sqrt {64}} over {8}]
∴ [eqn: x= {1} over {2}] 또는 [eqn: x=- {3} over {2}]

⑷ [eqn: 6x ^{2} -11x+3=0]
[eqn: x= {-(-11)± sqrt {(-11) ^{2} -4 TIMES 6 TIMES 3}} over {12}]
[eqn: = {11± sqrt {49}} over {12}]
∴ [eqn: x= {3} over {2}] 또는 [eqn: x= {1} over {3}]

12 ⑴ [eqn: 9x ^{2} +2x-1=0]
∴ [eqn: x= {-1± sqrt {10}} over {9}]

⑵ [eqn: x ^{2} -4x-6=0]	∴ [eqn: x=2± sqrt {10}]

⑶ [eqn: 2x ^{2} +3x-5=0]
∴ [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=][eqn: - {5} over {2}]

⑷ [eqn: 5x ^{2} -5x-2=0]	∴ [eqn: x= {5± sqrt {65}} over {10}]

말로 묻고 말로 답하기                              p. 74

● ⑴은 완전제곱식을 이용하는 방법, ⑵는 인수분해를 이용하는 방법, ⑶은 근의 공식을 이용하는 방법, ⑷는 완전제곱식을 이용하는 방법이 편리하다.

배운 내용 확인하기                                  p. 77

1 [eqn: 3∊A]이므로 [eqn: 9-6+1=0]    ∴ [eqn: a=-3]
[eqn: 3∊B]이므로 [eqn: 9+9+b=0]    ∴ [eqn: b=-18]

2 ⑴ [eqn: (x-5)(x+9)=0]
∴ [eqn: x=5] 또는 [eqn: x=-9]

⑵ [eqn: (x-1)(3x+2)=0]
∴ [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=- {2} over {3}]

⑶ [eqn: (x-3) ^{2} = {9} over {4}]
[eqn: x-3=± {3} over {2}], [eqn: x=3± {3} over {2}]
∴ [eqn: x= {9} over {2}] 또는 [eqn: x= {3} over {2}]

⑷ [eqn: x= {-(-8)± sqrt {LEFT ( -8 RIGHT ) ^{2} -4 TIMES 1 TIMES 2}} over {2}]
[eqn: =4± sqrt {14}]

⑸ [eqn: x= {-7± sqrt {7 ^{2} -4 TIMES 4 TIMES 2}} over {8}]
[eqn: = {-7± sqrt {17}} over {8}]

⑹ [eqn: x= {-6± sqrt {6 ^{2} -4 TIMES 3 TIMES (-2)}} over {6}]
[eqn: = {-3± sqrt {15}} over {3}]

생각 나눔터                                         p. 77

1. ㉠의 넓이는 [eqn: 5x], ㉡의 넓이는 [eqn: x(5-x)]이고, [eqn: -x ^{2} +10x=21]이므로 21이다.

2. □ACDJ가 정사각형이므로 [eqn: rm ` bar{AC}=5]
[eqn: rm ` bar{BC}=itx]이므로 [eqn: rm ` bar{AB}=5-itx]
□KLIJ가 정사각형이므로 [eqn: rm ` bar{IJ}= bar{JK}=5it-x]
∴ [eqn: rm bar{AK}=itx]
따라서 □ABLK와 □DEHI는 두 변의 길이가 [eqn: 5- it x]와 [eqn: x]인 직사각형이므로 그 넓이가 같다.

3. □KLIJ는 한 변의 길이가 [eqn: 5- it x]인 정사각형이므로 넓이는
[eqn: 25-10x+x ^{2} =25-21=4]

4. [eqn: 5-x=2]이므로 [eqn: x=3]

I-2. 이차방정식의 활용

1 이차방정식의 활용                    pp. 82~83

1 두 자연수의 차가 3이므로 두 자연수를 각각 [eqn: x,```x+3]이라 하면
[eqn: x ^{2} +(x+3) ^{2} =149], [eqn: 2x ^{2} +6x-140=0],
[eqn: x ^{2} +3x-70=0], [eqn: (x-7)(x+10)=0]
∴ [eqn: x=7] 또는 [eqn: x=-10]
[eqn: x>0]이므로 [eqn: x=7]
따라서 두 자연수는 7과 10이다.

2 두 자연수를 각각 [eqn: x,```x+1]이라 하면
[eqn: x ^{2} +(x+1) ^{2} =145], [eqn: 2x ^{2} +2x-144=0],
[eqn: x ^{2} +x-72=0], [eqn: (x-8)(x+9)=0]
∴ [eqn: x=8] 또는 [eqn: x=-9]
[eqn: x>0]이므로 [eqn: x=8]
따라서 두 자연수는 8과 9이다.

3 [eqn: rm bar{AP}=it x] cm라 하면 [eqn: rm bar{PB} =(14- it x)] cm
이므로 [eqn: x ^{2} +(14-x) ^{2} =100], [eqn: 2x ^{2} -28x+96=0],
[eqn: x ^{2} -14x+48=0], [eqn: (x-6)(x-8)=0]
∴ [eqn: x=6] 또는 [eqn: x=8]
[eqn: 0<x<14-x], 즉 [eqn: 0<x<7]이므로 [eqn: x=6]
따라서 작은 정사각형의 한 변의 길이는 6 cm이다.

4 종이의 가로의 길이를 [eqn: it x] cm라 하면 세로의 길이는 [eqn: (x-4)] cm이므로 상자의 가로의 길이는 [eqn: (x-6)] cm, 세로의 길이는 [eqn: (x-10)] cm, 높이는 3 cm이다. 상자의 부피가 96 [eqn: rm `cm ^{3}]이므로 [eqn: 3(x-6)(x-10)=96]
[eqn: (x-6)(x-10)=32], [eqn: x ^{2} -16x+28=0]
[eqn: (x-2)(x-14)=0]
∴ [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=14]
[eqn: x>10]이므로 [eqn: x=14]
따라서 처음 종이의 가로의 길이는 14 cm이다.

5 공이 처음으로 땅에 떨어질 때까지 걸리는 시간을 [eqn: x]초라 하면
[eqn: -5x ^{2} +20x+25=0], [eqn: -5(x ^{2} -4x-5)=0]
[eqn: x ^{2} -4x-5=0], [eqn: (x+1)(x-5)=0]
∴ [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=5]
[eqn: x>0]이므로 [eqn: x=5]
따라서 공이 땅에 떨어질 때까지 걸리는 시간은 5초이다.

말로 묻고 말로 답하기                              p. 83

● 연속된 세 정수를 각각 [eqn: x-1,```x,```x+1]이라 하면 [eqn: (x-1) ^{2} +x ^{2} +(x+1) ^{2} =110]

생각 나눔터                                         p. 41

확성기가 2대 달린 곳에서 어떤 지점까지의 거리를 [eqn: x] m라 하면, 확성기가 3대 달린 곳에서 그 지점까지의 거리는 [eqn: (50-x)] m이다. 소리는 거리의 제곱에 비례하여 약해지므로
2:3=[eqn: x ^{2} ``:``(50-x) ^{2}]
[eqn: 3x ^{2} =2(50-x) ^{2}], [eqn: x ^{2} +200x-5000=0]
방정식을 풀면 [eqn: x=-100±50 sqrt {6}]
[eqn: sqrt {6} image 2.45]이므로 [eqn: x image 22.5] 또는 [eqn: x image -222.5]
[eqn: x>0]이므로 확성기가 2대 달린 곳에서 약 22.5 m 떨어진 지점에 위치해야 한다.